სამეცნიერო პროექტის დასახელება: „ტოპოლოგიურ სივრცეთა და უწყვეტ ასახვათა გეომეტრიული და ალგებრული ინვარიანტების შესახებ“

გრანტის დაფინანსების წყარო: ბათუმის შოთა რუსთველის სახელმწიფო უნივერსიტეტი

სამეცნიერო პროექტის ხელმძღვანელი: პროფესორი ვლადიმერ ბალაძე

სამეცნიერო პროექტის შემსრულებელი: ასოცირებული პროფესორი ანზორ ბერიძე, ასისტენტ პროფესორი რუსლან ცინარიძე სტუდენტი ზვიად გიორგაძე

სამეცნიერო პროექტის განხორციელების ვადა: 2018 წ.

პროექტის მიზანი, ამოცანები და აქტუალობა: თანამედროვე ტოპოლოგიის მთავარ ამოცანას - ტოპოლოგიურ სივრცეთა და უწყვეტ ასახვათა კლასიფიკაციის ამოცანას ხშირად მივყევართ უფრო ზოგადი ტოპოლოგიური ობექტების კვლევამდე, ვიდრე ეს არის მრავალნაირობები და პოლიედრები. ცხადია, ეს ითხოვს კლასიკური ტოპოლოგიური თეორიებისაგან და მათი ინვარიანტებისაგან განსხვავებული ისეთი თეორიების და ინვარიანტების აგებას და გამოკვლევას, რომლებიც ეფექტურად გამოიყენება არამარტო ტოპოლოგიის, არამედ მისი მონათესავე დარგების-დიფერენციალური გეომეტრიის, ალგებრული გეომეტრიის, ფუნქციონალური ანალიზის, კომპლექსური ანალიზის და სხვა მათემატიკური მიმართულებების განვითარებაში.

ტოპოლოგიის განვითარების ამ პერიოდისთვის არსებობს კონკრეტული თეორიების, ასე მაგალითად, ჰომოლოგიის თეორიის, შეიპების თეორიის, განზომილების თეორიის და მათი ინვარიანტების აგების და განმარტების სხვადასხვა მიდგომები, რომელთაც მივყევართ სხვადასხვა პრობლემების წარმატებით გამოკვლევამდე. ამდენად, ახალი, ჰომოლოგიური, შეიპური და განზომილებისნაირი ინვარიანტები, რომელთაც აქვთ კლასიკური ჰომოლოგიური, შეიპური და განზომილების ინვარიანტების რიგი თვისებები, მნიშვნელოვან როლს თამაშობენ აღნიშნულ დარგებში არსებული ამოცანების გადაწყვეტაში.

წარმოდგენილი პროექტი ეხება ჰომოლოგიის თეორიის, ჰომოლოგიური ალგებრის, გეომეტრიული ტოპოლოგიის მონათესავე დარგებს და ითვალისწინებს მათ მიჯნაზე აღმოცენებული პრობლემების კვლევას:

პრობლემა I. შეიძლება თუ არა ჰომოლოგიის თეორიის ახალი, განსხვავებული, მარტივი აღწერა და აქსიომატიკური დახასიათება ფარდობითი ჯგუფის ცნების გარეშე. პროექტის ფარგლებში გათვალისწინებულია კომპაქტური ჰაუსდორფის სივრცეების და უწყვეტი ასახვების, ლოკალურად კომპაქტური სივრცეების და საკუთრივი ასახვების კატეგორიებზე სპექტრული და პროექციული (კო)ჰომოლოგიის, და ბორდიზმების ჰომოლოგიის თეორიის აქსიომატიკურ დახასიათებას აბსოლუტური ჯგუფების, ინდუცირებული ჰომომორფიზმების და ზედნაშენის იზომორფიზმების ტერმინებში და მათი გამოყენება ვარიაციათა აღრიცხვის მრავალგანზომილებიანი ამოცანების კვლევაში.

პრობლემა 1-ს ბუნებრივად მივყევართ ვატანაბეს მიერ ფორმულირებული შემდეგი პრობლემის კვლევამდე.
პრობლემა II. ვთქვათ,   და    არის რაიმე კლასის ტოპოლოგიური სივრცეები, ხოლო   და   ისეთი „კარგი“ სივრცეებისაგან შემდგარი შებრუნებული სისტემები, რომ   და  .
i) ყოველი   უწყვეტი ასახვისათვის არსებობს თუ არა ისეთი    შებრუნებული სისტემების ასახვა, რომ  ?
ii) ყოველი   და   შებრუნებული სისტემისთვის და   უწყვეტი ასახვისათვის არსებობს თუ არა ისეთი   სისტემების ასახვა, რომ  ?

პროექტის მიზნებიდან გამომდინარე, აგრეთვე გამოკვლეული იქნება ის შემთხვევა, როცა   სისტემების  ყოველი ასახვა   არის უწყვეტ ასახვათა   კატეგორიის აბსოლუტური მიდამოებრივი რეტრაქტი. ამ ამოცანას გადაწყვეტა საშუალებას მოგვცემს გამოვიკვლიოთ პრობლემა I, ავაგოთ კომპაქტურ ჰაუსდორფის სივრცეთა ფიბრაციული შეიპური კატეგორია და უწყვეტ ასახვათა პროექციული და სპექტრული ჯგუფების აქსიომატიკა სტინროდ-ეილენბერგის, მილნორის, ჰუს და ვატანაბეს თვალსაზრისით.

(კო)ჰომოლოგიის და შეიპების თეორიის მეთოდებით გამოკვლეული იქნება შემდეგი პრობლემა.

პრობლემა III. მოიძებნოს ის აუცილებელი და საკმარისი პირობები, რომელთა შესრულების შემთხვევაში მოცემული კლასის სივრცეს გააჩნია კომპაქტიფიკაცია ან გასრულება, რომელთაც და რომელთა ნაზრდებსაც გააჩნიათ მოცემული ტოპოლოგიური თვისება.

პროექტით გათვალისწინებულია ამ პრობლემის გამოკვლევა ისეთი ტოპოლოგიური თვისებებისთვის, როგორიცაა: სივრცეს გააჩნია კომპაქტიფიკაცია ან გასრულება, რომელთაც და რომელთა ნაზრდებსაც აქვთ მოცემული (კო)ჰომოლოგიური ჯგუფი, კოჰომოლოგიური განზომილება, გაფართოების განზომილება, ფუნდამენტური განზომილება და შეიპი.

პროექტის ფარგლებში გათვალისწინებულია შემდეგი ამოცანების გამოკვლევა:

პრობლემა I

I1. კომპაქტური ჰაუსდორფის სივრცეების კატეგორიაზე ჩეხის სპექტრული [S-Ei] და ჭოღოშვილის პროექციული ჯგუფების [C1] აქსიომატიკური დახასიათება მხოლოდ აბსოლუტური ჯგუფების, ინდუცირებული ჰომომორფიზმების და ზედნაშენის იზომორფიზმების ტერმინებში. (III საანგარიშო პერიოდი)
I2. ნებისმიერი ტოპოლოგიური სივრცეების და უწყვეტი ასახვების კატეგორიაზე პროექციული ზუსტი ჰომოლოგიის ფუნქტორის აგება ნორმალურ დაფარვებზე დაყრდნობით და აგებული პროექციული ჰომოლოგიის თეორიის და ჩეხის სპექტრული ჰომოლოგიის თეორიის [S-Ei] დახასიათება ჰუს აქსიომების თვალსაზრისით.
I3. ლოკალურად კომპაქტურ სივრცეთა და საკუთრივ ასახვათა კატეგორიაზე განმარტებული ალექსანდროვის სპექტრული და ჭოღოშვილის პროექციული ჯგუფების გამოკვლევა როგორც სტინროდ-ეილენბერგის, ისე ჰუს აქსიომების თვალსაზრისით. აქსიომათა აღნიშნულ სისტემებს ბუნებრივად ემატება ნ.ბერიკაშვილის [Be2], ხ.ინასარიძის [I], ლ.მძინარიშვილის [Md4], და ინასარძისა და მძინარიშვილის [I-Md] მიერ განხილული აქსიომები. ამრიგად, არსებობს აქსიომათა სხვადასხვა სისტემები, რომლებიც უზრუნველყოფს აღნიშნული ჰომოლოგიის თეორიების ერთადერთობის თეორემების დამტკიცებას.
I4. ექსტრაორდინალური თეორიის ერთერთი მნიშვნელოვანი ვერსიის-ბორდიზმების თეორიის [F] აქსიომატიკური გამოკვლევა არა სტინროდ-ეილენბერგის აქსიომათა სისტემით, არამედ ჰუს აქსიომათა სისტემაზე დაყრდნობით.

პრობლემა II

II1. კომპაქტური ჰაუსდორფის სივრცეების უწყვეტ ასახვათა  -ასახვებით და ნებისმიერი სივრცეების უწყვეტი ასახვების  -რეზოლვენტებით აპროქსიმაციის ამოცანის გამოკვლევა. 
II2. კომპაქტურ ჰაუსდორფის სივრცეთა უწყვეტი ასახვების ფიბრული შეიპური კატეგორიის, ასახვის უსასრულო კოტელესკოპის აგება და ფიბრული შეიპების დახასიათება.

პრობლემა III

III1. სივრცის ვ. ბალაძის საზღვრული კოჰომოლოგიური განზომილების ფუნქციის ძირითადი თვისებების გამოკვლევა.
III2. მეტრიზებად სივრცეთა ტოპოლოგიური გასრულების სპექტრული ჩეხის ჯგუფების დახასიათება.
III3. ჩვენება იმისა, რომ  მეტრიზებად სივრცეს როდის აქვს ტოპოლოგიური გასრულება   მოცემული სპექტრული (კო)ჰომოლოგიის ჯგუფის, გაფართოების განზომილების, კოჰომოლოგიური განზომილების ან ფუნდამენტური განზომილების მქონე    ნაზრდით.
III4.  გასრულების კოჰომოლოგიური   ხარისხის განმარტება და გამოკვლევა ჰიპოთეზის
  ,
სადაც   არის კოჰომოლოგიური განზომილება [K].